天才啊……………………

皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：
Ⅰ、0是自然数；
Ⅱ、每一个确定的自然数a，都具有确定的后继数a' ，a'也是自然数（数a的后继数a'就是紧接在这个数后面的整数（a+1）。例如：1'=2，2'=3等等。）；
可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数，因为满足这两条的有可能不是自然数系统。比如考虑由0, 1构成的数字系统，其中1的后继为0。这不符合我们对于自然数系统的期望，因为它只包含有限个数。因此，我们要对自然数结构再做一下限制：
Ⅲ、0不是任何自然数的后继数；
但这里面的漏洞防不胜防，此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0, 1, 2, 3，3，其中3的后继是3。看来，我们设置的公理还不够严密，我们还得再加一条。
Ⅳ、不同的自然数有不同的后继数，如果自然数b、c的后继数都是自然数a，那么b=c；
最后，为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.3，0.22），同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要，我们加上最后一条公理。
Ⅴ、设S⊆N（自然数），且满足2个条件（i）0∈S；（ii）如果∀n∈S，那么n'∈S。则S是包含全体自然数的集合，即S=N。 简易表述：若集合S中全是自然数，且满足两个条件：（1）0在集合S中。（2）若任给实数n在集合S中，那么n的后继数n'也在S中，那么S是包含全体自然数的集合(这条公理也叫归纳公理，保证了数学归纳法的正确性)
注：归纳公理可以用来证明0是唯一不是后继数的自然数，因为令命题为“n=0或n为其它数的后继数”，那么满足归纳公设的条件。
若将只考虑正整数，则公理中的0要换成1，自然数要换成正整数。

1 + 1
= 0’ + 1 （根据自然数的公理）
= （0 + 1)’（根据加法定义Ⅱ）
= 1’ （根据加法定义Ⅰ）
= 2 （根据自然数的公理）